Optimized global-in-time Schwarz algorithm for diffusion equations with discontinuous and spatially variable coefficients

In this report we present a global-in-time non-overlapping Schwarz method applied to the one dimensional unsteady diffusion equation. We address specifically the problem with discontinuous diffusion coefficients, our approach is therefore especially designed for subdomains with heterogeneous properties. We derive efficient interface conditions by solving analytically the minmax problem associated to the search of optimized conditions in a Robin-Neumann case and in a two-sided Robin-Robin case with constant coefficients. We study the impact of the finiteness of the subdomains on the optimized conditions. Then we address the problem with spatially variable coefficients. We derive a new approach to determine the convergence factor of the algorithm, which enables to optimize the convergence speed. The theoretical results are illustrated by numerical experiments in the case of Robin-Robin and Dirichlet-Neumann interface conditions. Key-words: domain decomposition, waveform relaxation, Schwarz methods ∗ Jean Kuntzmann Laboratory, BP 53, 38041 Grenoble Cedex 9, France † INRIA Grenoble Rhône-Alpes, Montbonnot, 38334 Saint Ismier Cedex, France in ria -0 03 24 53 3, v er si on 1 25 S ep 2 00 8 Algorithme de Schwarz optimisé global-en-temps pour des équations de diffusion à coefficients discontinus et spatialement variables Résumé : Dans ce rapport nous présentons une méthode de Schwarz sans recouvrement globale en temps appliquée à l’équation de diffusion instationnaire 1D. Nous abordons spécifiquement le problème avec des coefficients de diffusion discontinus, notre approche est donc spécialement conçue pour des sousdomaines possédant des propriétés physiques hétérogènes. Nous dérivons des conditions d’interface efficaces en résolvant analytiquement le problème de minmax associé à la recherche de conditions optimisées dans un cas Robin-Neumann puis dans un cas two-sided Robin-Robin à coefficients constants. Nous étudions également l’impact de la taille des sous-domaines considérés sur les conditions optimisées. Ensuite nous abordons le problème avec des coefficients variables. Nous dérivons une nouvelle approche afin de déterminer le facteur de convergence de l’algorithme, ce qui nous permet d’optimiser la vitesse de convergence. Les résultats théoriques sont illustrés par des expériences numériques. Mots-clés : décomposition de domaine, algorithmes de relaxation d’onde, méthodes de Schwarz in ria -0 03 24 53 3, v er si on 1 25 S ep 2 00 8 OSWR for diffusion equations with discontinuous and spatially variable coefficients3 Part